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納什|美女與男人的游戲：看似公平的收割方法。博弈論與納什均衡（六）

納什

納什|美女與男人的游戲：看似公平的收割方法。博弈論與納什均衡（六）
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你炒股嗎？總有同學(xué)跟我說(shuō) ， 自己明明是個(gè)散戶 ， 但是卻能撬動(dòng)整個(gè)大盤(pán) 。 自己賣(mài)了大盤(pán)就漲 ， 自己買(mǎi)了大盤(pán)就跌 ， 這是怎么回事呢？
有一個(gè)有趣的博弈論例子 ， 和我們?cè)诠墒械脑庥龊芟?。 這個(gè)例子是這樣的：
有一個(gè)男人在酒吧里喝酒 ， 一位美女走過(guò)來(lái) ， 對(duì)他說(shuō)：我們玩?zhèn)€游戲吧 。 規(guī)則如下：
我們每個(gè)人手里各拿一個(gè)硬幣 ， 不讓對(duì)方知道的扣在桌子上 。 然后兩人同時(shí)把手拿開(kāi) ， 看硬幣的正反面 。 如果兩枚硬幣都是正面 ， 那么美女給男人3塊錢(qián) 。 如果都是反面 ， 那么美女給男人1塊錢(qián) 。 如果硬幣是一正一反 ， 男人給美女兩塊錢(qián) 。
請(qǐng)問(wèn) ， 男人應(yīng)該參與這個(gè)游戲嗎？如果雙方一直玩下去 ， 是不是會(huì)沒(méi)輸沒(méi)贏呢？
如果只使用概率論 ， 很容易感覺(jué)這是一個(gè)公平的游戲 。 因?yàn)槿绻麅蓚€(gè)人都是隨機(jī)出牌 ， 那么兩個(gè)都正面的概率為1/4 ， 兩個(gè)都反面概率為1/4 ， 一正一反概率為1/2 ， 按照概率和期望的含義 ， 一次游戲中男人收益的數(shù)學(xué)期望就是0 。
納什|美女與男人的游戲：看似公平的收割方法。博弈論與納什均衡（六）
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也就是說(shuō)：經(jīng)過(guò)一次游戲 ， 男人平均回報(bào)為零 ， 既不賺錢(qián) ， 也不虧錢(qián) 。
事實(shí)真的如此嗎？
在這個(gè)游戲中 ， 男人和女人并不是拋硬幣 ， 而是自己選擇出硬幣正面還是反面 ， 顯然 ， 男人和女人都不可能一直出正面或者一直出反面 ， 因?yàn)檫@樣會(huì)被對(duì)手摸出規(guī)律 。 但是他們依然可以在多次游戲中將自己正面的頻率設(shè)定為某個(gè)值附近 ， 從而獲得統(tǒng)計(jì)意義上的收益 ， 從而使得游戲就從一個(gè)概率問(wèn)題 ， 變成了一個(gè)博弈問(wèn)題 ， 這個(gè)固定的頻率就是混合策略的納什均衡 。
可是這個(gè)頻率如何計(jì)算呢？
我們假設(shè)男人的策略是：出正面的頻率為x ， 出反面的概率為1-x；
【納什|美女與男人的游戲：看似公平的收割方法。博弈論與納什均衡（六）】假設(shè)女人的策略是:出正面的頻率為y ， 出反面的頻率為1-y 。
游戲中各種情況下的概率表格如圖所示 。
用每種情況下男人的收益乘以概率 ， 再把它們相加 ， 就能計(jì)算出男人的收益期望：
兩人對(duì)這個(gè)期望值E是有不同預(yù)期的：
女人希望男人一直賠錢(qián) ， 所以希望男人收益的期望E越小越好 。
男人希望自己一直贏錢(qián) ， 所以希望自己的收益期望E是正的 ， 越大越好 。
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我們不妨先從女人的角度考慮吧：她究竟應(yīng)該讓自己的y取多少 ， 才能讓男人的期望收益E最小呢？我們把表達(dá)式做一個(gè)變形：
E=(8y-3)x-3y+1
女人會(huì)想：
如果我的策略中y>3/8 ， 那么8y-3就是正的 。 E會(huì)隨著x的增大而增大 ， 所以男人發(fā)現(xiàn)自己的套路后 ， 就會(huì)讓x=1 ， 這樣一來(lái)男人的收益期望就是E=5y-2 。 由于y>3/8 ， 所以E>-1/8 。 男人平均玩一局 ， 輸?shù)腻X(qián)不超過(guò)1/8元 。
如果我的策略中y
-1/8 ， 男人輸?shù)那安粫?huì)超過(guò)1/8元 。
如果我的策略是y=3/8呢 ， 這樣E=1-3y=-1/8 ， 無(wú)論男人采用什么策略 ， 他玩一局就輸1/8元 。
綜上所述 ， 對(duì)女人來(lái)講 ， 最優(yōu)策略就是y=3/8 ， 這樣無(wú)論男人怎么做 ， 每一局平均都會(huì)輸?shù)?/8元 。
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那么 ， 男人又會(huì)如何思考呢？他也希望調(diào)整x ， 讓自己的期望E最大 。 他會(huì)把公式這樣變形：

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